Control Óptimo
En el cálculo variacional clásico, como se expuso previamente, el objetivo consiste en encontrar funciones \(y:\Omega\subset\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^N\) que extremen funcionales del tipo \[ J[y]:=\int_\Omega L(x,y(x),Dy(x))dx. \]
Esta formulación resulta adecuada cuando se trabajan problemas donde las únicas restricciones se imponen a través de condiciones de frontera sobre \(y(x)\), \(x\in\Omega\).
Sin embargo, en diversos contextos (como en sistemas físicos, económicos o biológicos) las trayectorias posibles de un sistema no son completamente libres, sino que se encuentran sujetas a restricciones dinámicas que se modelan mediante ecuaciones diferenciales. En estos casos, la evolución del sistema está gobernada por una dinámica de estado la cual puede verse influida por variables externas denominadas controles que intervienen activamente en su comportamiento. (Pontryagin 2018)
Esta situación exige una generalización del enfoque clásico, dando lugar a una formulación más amplia conocida como cálculo variacional con restricciones, que establece las bases para la teoría del control óptimo.
Para propósitos de este trabajo, nos enfocaremos en el estudio del caso donde el dominio \(\Omega\), del funcional \(J\) es un intervalo compacto \([t_0, t_f] \subset \mathbb{R}\). Esta restricción permite formular de manera clara y rigurosa los principios fundamentales del cálculo variacional con restricciones y de la teoría del control óptimo, como el Hamiltoniano, el Principio del Máximo de Pontryagin y la estructura de los sistemas dinámicos manejados por controles.
Sin embargo, es importante señalar que formulaciones más generales que consideran dominios abiertos, intervalos infinitos o espacios abstractos de evolución, son posibles y se utilizan en diversas áreas como economía dinámica, teoría de juegos diferenciales y problemas con horizonte infinito. En estos casos, el análisis requiere condiciones adicionales de regularidad, crecimiento o convergencia, y se desarrolla dentro de marcos funcionales más generales. Para una exploración más amplia se puede consultar Sussmann (2005) o Evans (2022).