Cálculo Variacional
El cálculo variacional es una área de las matemáticas que estudia la optimización de funcionales, es decir, funciones cuyo dominio es un conjunto de funciones. Aunque los primeros problemas en este campo se remontan a la antigua Grecia, su desarrollo significativo ocurrió entre los siglos XVIII y XIX, impulsado por la búsqueda de soluciones óptimas en trayectorias, superficies mínimas y principios físicos (Ferguson 2004) y dando lugar a problemas clásicos como la braquistócrona de Johann Bernoulli, el principio de mínima acción de Maupertuis, etc.
Con el desarrollo de la teoría, se ha dado paso a problemas más complejos y aplicaciones en diversas áreas, incluyendo la economía, biología, control óptimo, ingenieria aeroespacial, entre otras. Presentaremos algunos fundamentos y abordaremos la existencia de soluciones de problemas de cálculo variacional. Posteriormente, introduciremos el Principio de Pontryagin, el cual nos permite extender los resultados del cálculo variacional hacia el ámbito del control óptimo.
Los problemas en el cálculo variacional consisten en encontrar una función \(y(x)\) tal que minimice o maximice un funcional de la forma
\[ \begin{split} J[y]=\int_a^b F(x,y,y^\prime) dx \end{split} \]
donde \(F\) es una función dada que depende de la variable independiente \(x\), la función \(y(x)\) y su derivada \(y^\prime(x)\). Este problema puede plantearse agregandole diversas condiciones de frontera, restricciones, etc.
El primer problema real fue estudiado por Isaac Newton (1643-1727) examinando el movimiento de cuerpos en un medio resistente.
En junio de 1696, el matemático Johann Bernoulli (1667-1748) presentó en Acta Eruditorum (Bernoulli 1996), el primer periódico científico alemán, el problema de La Braquistócrona (The Brachistochrone) dirigido a “los matemáticos más inteligentes del mundo”, este problema se convirtió en uno de los más famosos del cálculo variacional. Su formulación, originalmente escrita en Latín, puede traducirse de la siguiente manera:
Si en un plano vertical dos puntos \(A\) y \(B\) son dados, encuentre la trayectoria \(AMB\) del punto movible \(M\), a lo largo de la cual, partiendo de \(A\), y bajo la influencia de su propio peso, llega a \(B\) en el menor tiempo posible” (Sussmann y Willems 1997).
Este problema atrajo la atención de numerosos matemáticos destacados, entre ellos Newton y Leonhard Euler. En 1744, Euler publicó Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu, una obra que muchos consideran el punto de partida formal del cálculo variacional. Posteriormente Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) le propuso a Euler un nuevo método analítico que simplificaba el enfoque geométrico previamente utilizado. La idea de Lagrange de comparar funciones condujo directamente a las ecuaciones Euler-Lagrange. Después de considerar el método de Lagrange, Euler abandonó su enfoque geométrico, y nombró el campo con el nombre que usamos hoy en día, Cálculo Variacional o Cálculo de Variaciones, en reconocimiento al método variacional de Lagrange (Ferguson 2004).